El viernes nos dió por discutir cuál era el resultado de dividir un número entre cero.Yo siempre había considerado inaceptable la utilización de esta operación en cualquier ámbito matemático. Pero es cierto que el debate me ha servido para revisar algunos conceptos que tenía medio olvidados, y poder darme cuenta que no estaba siendo del todo estricto.
En concreto, en la mayoría de contextos matemáticos (habitualmente números reales a los que se añade +∞ y -∞ (+infinito y -infinito) [1]) la operación de dividir un número entre 0 se define como:
- Indefinida, si el dividendo es distinto de 0 (p. ej. 1/0): Significa que NINGUN valor devuelto sería válido (desarrollado más abajo).
- Indeterminada, si el dividendo es 0 (0/0): Significa que CUALQUIER valor devuelto sería válido [2].
Debido a estas caraterísticas (indefinición e indeterminación) la operación división entre cero no se admite para llevar a cabo otras demostraciones (que en estos contextos resultarían incorrectas o absurdas, como la descrita en este link o en [3])
Tras esta (auto)aclaración, me ha sorprendido lo extendida que está la corriente que asegura que cualquier número dividido entre cero es... ¡INFINITO! ¡¿COMO?! No es así.
Tras empaparme con contenidos de algunas webs, libros y antiguos apuntes, he comprendido de dónde surge esta creencia, que intentaré explicar por qué es errónea:
Tomando un numerador distinto de 0 (debido a lo explicado en [2]), por ejemplo numerador 1, trataremos la función siguiente
f(x) = 1/x
Por definición: Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.Entonces si quisieramos intentar demostrar que 1/x puede tomar algún valor para x = 0, sería necesario demostrar que la función es continua en ese punto. Para ello deberíamos demostrar que existe el siguiente límite:
lim 1/x
x→0
El límite de 1/x cuando x tiende a cero por la derecha es +∞, mientras que cuando tiende a cero por la izquierda es -∞. Mediante notación:
lim 1/x = +∞
x→0+
lim 1/x = -∞
x→0-
En análisis matemático cuando un límite es +∞ o -∞ se considera que ese límite no existe.
Pero además, según uno de los múltiples teoremas de tratamiento de límites utilizados en análisis: Existe el límite si y solo si existen los límites laterales (por la derecha y por la izquierda) y ambos coinciden.
Por cualquiera de las dos razones anteriores
lim 1/x
x→0
no existe.
La consecuencia de esto es por un lado la discontinuidad de la función 1/x en el punto x = 0, y por otro que no exista ningún valor posible para la función en ese punto (valor que coincidiría con el del resultado de la operación 1/0).
Este tipo de discontinuidad en el que uno de los límites (o ambos) son no-finitos se conoce como discontinuidad asintótica.
La misma explicación anterior de una forma algo más práctica:
El límite de 1/x cuando x tiende a 0 con valores positivos (por la derecha) nos lleva, más o menos, a algo así:
1 / 1 = 1
1 / 0.1 = 10
1 / 0.01 = 100
...
1 / 0.00000000000001 = 100000000000000
Podemos hacer que el divisor se acerce a 0 tanto como queramos. Y cuanto más cercano a 0, mayor es el número que resulta. Entonces decimos que el límite que tratamos tiende a ∞.
Esto se puede representar gráficamente de la siguiente manera:
A medida que aproximamos valores de x a cero, el valor de y (o si se prefiere f(x) ) crece cada vez más.
De manera similar, aplicamos lo visto con divisores negativos (x tendiendo a cero por la izquierda):
1 / -1 = -1
1 / -0.1 = -10
1 / -0.01 = -100
...
1 / -0.00000000000001 = -100000000000000
Incorporando los nuevos valores al gráfico anterior resulta lo siguiente:
Ahora a medida que aproximamos valores negativos de x a 0, el valor de y se hace cada vez menor ( f(x) tiende a -∞).
Como se ha dicho antes, el hecho de que al acercarnos a 0 desde números positivos tienda a un resultado (+∞) distinto del resultado al que tiende cuando nos acercamos a 0 desde números negativos (-∞) es suficiente para afirmar que la función no puede tomar ningún valor en el punto x=0.
La conclusión 1/0 = ∞ podría tener algo más de sentido si tomaramos sólo el contexto de los reales positivos. Entonces f(x) = 1/x sólo podría tomar divisores positivos, y en consecuencia diríamos que el resultado tiende a un único valor, que es +∞. Pero si desde ahí deducimos que 1/0 = +∞ caemos de nuevo en un error porque la propia definición del límite nos dice que el denominador "tiende a cero", mientras que en la deducción se está considerando que el valor del denominador es exactamente "igual a cero" (pero la definición excluye ese valor).
Todavía "más" práctico: Es como si me acerco a un precipicio. Puedo estar muy cerca del borde y aun así recorrer la mitad de lo que queda hasta llegar a él. Seguiré pudiendo hacer esto las veces que quiera, mientras me lo permita mi precisión en recorrer distancias cada vez menores. Y mediante leyes físicas podré demostrar que seguiré sin caerme porque el punto que sustenta mi centro de gravedad sigue en el lado desde donde empecé a acercarme, aunque me encuentre rematadamente cerca del borde del precipicio. Pero no puedo asegurar qué pasará si en lugar de recorrer la mitad, recorro justo la distancia de lo que queda. Puede que caiga, puede que no... Puedo hacer mil conjeturas, pero en ese punto ya no puedo demostrar nada de lo que demostré antes.
En conclusión, tampoco podemos basarnos en la expresión que describe que
lim 1/x = +∞
x→0+
para argumentar que 1/0 = +∞, porque en la propia definición del límite, el 0 como divisor queda excluido (aunque incluya números tan cercanos a él como se quiera).
Pese a lo que pueda parecer nunca me gustaron mucho las matemáticas. Reconozco que en este post me he movido en un terreno en el que no soy ningún experto, por lo que he intentado documentarme todo lo que he podido. Cualquiera que entienda del tema y piense que debería rectificar algo, queda invitado a dejar su comentario indicándo lo que considere oportuno.
En recuerdo de Ramón Parés, mi profesor de matemáticas de BUP y COU, del que por desgracia perdí la pista hace muchos años.
Anotaciones:
[1] +∞ y -∞ se consideran números no incluidos en el conjunto de los números reales
[2] 0/0 es una operación indeterminada. Esto es así porque cualquier resultado que se quiera asignar a la operación es válido. Se puede ver convirtiendo 0/0 = 0 en 0 = 0*0, pero también llegamos a 0/0 = 1 ya que 0 = 0*1, y también a 0/0 = 3.1415927 ya que 0 = 0*3.1415927. Y así sucesivamente con cualquier otro número del contexto de los números reales. En este link se presenta una representación gráfica de lo explicado aquí.
0*∞ se considera a su vez una indeterminación, aunque como se ha dicho en [1] ∞ no se considera un número incluido en el conjunto de los números reales. Otras indeterminaciones en este link
[3] Si utilizamos la indeterminación 0/0 en alguna demostración llegamos a conclusiones erróneas. P. ej.: Sabiendo que 0/0 = 1 es correcto y que 0/0 = 2 también lo es, podríamos concluir
0/0 = 1
0/0 = 2
y por tanto 1 = 2, lo cual es absurdo.
Fuentes:
- ANALISI MATEMATICA D'UNA VARIABLE - Edició setembre de 1999 - Eusebi Jarauta Bragulat - Edicions UPC - ISBN 84-89636-37-0
- CURSO PRACTICO DE MATEMATICAS DE COU - 2ª edición - F.Gonzalez-J.Villanova - EDUNSA Ediciones y Distribuciones universitarias S.A. - ISBN 85-85257-50-2
- MATEMATICA 3º Bachillerato - 4ª edición - J. Boadas-R. Romero-R.Villalbí - Editorial Teide - ISBN 84-307-3185-7
- MATEMATICAS 2º BUP - 4ª edición - Pedro Solà Montserrat - Editorial Casals S.A. - ISBN 84-218-0015-9
http://en.wikipedia.org/wiki/Division_by_zero
http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico
http://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_por_cero#Paradoja_cl.C3.A1sica_usando_Divisi.C3.B3n_por_Cero
http://www.friesian.com/zero.htm
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/39-1-u-continuidad.html
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/58-Capitulo2.htm
http://www.monografias.com/trabajos13/nocla/nocla.shtml
ACTUALIZACION (modificación) (2007-12-16): He cambiado las cadenas "infinito" y "->" (tiende a) por sus correspondientes símbolos HTML.
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34 Comentarios:
Lo que entiendo de la paradoja de Wikipedia de la división por cero:
Sea a = b.
1) ab = b2
2) ab - a2 = b2 - a2
3) a (b-a) = (a+b) (b-a)
4) a = a + b
5) contradicción de a = 2a
¿1 = 1*2? no
0 = 0*2: Sí
¿No dice eso que solo se puede dividir por cero al cero y da cero?.
Hola anónimo, gracias por tu comentario.
Estoy de acuerdo con 1) 2) 3) 4) y 5)
También estoy de acuerdo donde dices "¿1 = 1*2? no", porque partiendo desde 4)
a = a + b
obtendríamos
1 * a = 1 * (a + b)
y partíamos de la premisa que a=b, por lo que
1 * a = 1 * (2 * a)
y por lo tanto
1 * a = 1 * 2 * a
, que simplificado queda
a = 2 * a
lo cual es falso. Por lo tanto, alguna de las operaciones anteriores (o posteriores) a 4) no está permitida. Tal como indica Wikipedia, esa operación es la simplificación que hacemos en el paso que nos lleva desde 3) hasta 4), ya que estamos dividiendo ambos lados de la igualdad entre (b-a). Como a=b, el resultado de (b-a) es cero, o sea dividimos entre cero. La paradoja viene a decirnos que la utilización de la división entre cero nos lleva a un resultado absurdo, y por tanto esta operación no puede utilizarse en el contexto en el que nos movemos.
También estamos de acuerdo con lo de que "0 = 0*2: Sí". También lo estaríamos si dijeramos "0 = 0*3: Sí", o si dijeramos "0 = 0*4: Sí", etc. Esto también implica (despejando) que 0/0=2, y que 0/0=3, y que 0/0=4 ... etc. O sea que 0/0 puede ser igual a cualquier número (de ahí lo de operación indeterminada).
También estoy de acuerdo con "...solo se puede dividir por cero al cero ...". Efectivamente 0/0 es una operación indeterminada (devuelve cualquier valor), pero definida.
Donde no estoy de acuerdo es donde dices "... y da cero" (por lo que decíamos en el parrafo anterior: 0/0 devuelve cualquier número, el que quieras).
Espero haber aclarado tu duda.
Moltó Gracias por la respuesta, pero partiendo del paso 3:
Si asumo que 0/0 = 0, entonces a y b pueden tener cualquier valor en la ecuación:
3) a*0 = 0 * (b+a) es cierto para cualquier a y b, pero como b-a era cero entonces a=b.
Pero si digo que 0/0 es cualquier valor, por ejemplo 1, a y b ya solo pueden valer 0:
3) a*1 = 1 * (b+a) solo es cierto para b=a=0, y eso no incluye a=b.
Luego la primera opción de 0/0=0 es más amplia, porque incluye al 0/0 en su grupo. La otra lo niega para evitar contradicciones.
Creo que entiendo lo que quieres decir, aunque no estoy seguro del todo: Lo que propones (corrígeme si me equivoco) es que si a=b=0 no se llega a ninguna contradicción, por lo que la paradoja no se produce en este caso. ¿Es eso?
No exactamente. Digo que a=b=0 no es lo mismo que a=b, porque a=b indica que a=b=1 o a=b=2 o...
Y si considero que 0/0 puede valer cualquier número, entonces a y b deben ser 0 para que no halla contradicciones.
Pero si considero que 0/0 es 0, entonces a y b pueden valer cualquier número sin contradicciones.
Hola de nuevo Anónimo.
He tenido que releer el hilo unas cuantas veces, pero al final creo que veo donde quieres llegar.
Sin embargo, si lo que planteas es:
a) 0/0 es igual (y sólo igual) a 0 (si no me equivoco es lo que propones en la pregunta al final de tu primer comentario) ...
b) ... partiendo de a) la paradoja puede que ya no valga dado que, al menos en un caso, no hay contradicciones.
entonces no me cuadra, porque no podríamos justificar p. ej. que 1*0=0, porque despejando llegamos a 1=0/0, y eso entra en contradicción con a) (insisto, en el caso que te haya entendido bien).
De todas formas, tal cómo decía en el post, mi formación en mates no excesivamente profunda (BUP, COU y lo visto en la carrera). Quiero decir que igual tú ves algo que yo con mi perspectiva no veo...
Para resolver el 1*0=0 no necesitamos despejar, solo operar la multiplicación y queda 0=0.
Lo que no tengo claro es que porque en un caso se cumpla, la paradoja ya no será válida, principalmente porque a=b pienso que indica cualquier número, no solo 0.
Saludos, Luis.
>Para resolver el 1*0=0 no >necesitamos despejar, solo operar la >multiplicación y queda 0=0.
Bueno, es otra manera de verlo.
Despejaba para llegar al hecho de que 0/0=1 , 0/0=2... En definitiva, que puede dar el número que quieras, y no sólamente 0.
>Lo que no tengo claro es que >porque en un caso se cumpla, la
>paradoja ya no será válida,
>principalmente porque a=b pienso >que indica cualquier número, no >solo 0.
Cierto, en esa frase no me he explicado nada bien.
Lo que quiero decir es que si 0/0 fuera igual (y sólo igual) a cero, entonces 0/0 ya no sería una indeterminación.
Imagino que entonces la operación 0/0 podría utilizarse en una demostración como la de la paradoja.
En esas condiciones, si hacemos que a y b valgan a=0 y b=0, entonces no habría contradicción.
De acuerdo contigo: No estoy seguro de que en ese caso la paradoja dejara de ser válida.
Saludos.
"Despejaba para llegar al hecho de que 0/0=1 , 0/0=2... En definitiva, que puede dar el número que quieras".
Sí, ¿pero porque lo dicen?.
Creo que es para enmascarar al cero puro mediante limites. Si suponen que el numerador tiende a cero más rápidamente que el denominador entonces tiende a infinito, y alreves tiende a 0:
A) 0.1/0.01 = 10
B) 0.01/0.1 = 0.1
Además la operación de dividir equivale a contabilizar el numero de veces que se le puede restar el denominador al numerador. ¿cuantas veces le puedes restar 0 a 0?. Ninguna (cero), porque el resto ya es cero.
Por último 0/0=3 despejado a 3*0=0 se podría interpretar como que 3 conjuntos vacíos son igual a un conjunto vacío. Eso conlleva perdida de información(el 3, porque 3 tres vasos de agua vacíos no son uno). También es erroneo considerar que ningún vaso vacío equivale a un vaso vacío (0*0=0).
En vez de vasos se puede mirar como una matriz bidimensional de 3 x 0 elementos....¿El que no exista su segunda dimensión conlleva la aniquilación de la primera?
Así el 0 más que un número parece un antinúmero, es antidimensional.
Espero que mi mareo no sea contagioso, un saludo.
>>"Despejaba para llegar al hecho de que 0/0=1 , 0/0=2... En definitiva, que puede dar el número que quieras".
>Sí, ¿pero porque lo dicen?.
Sinceramente creo que no sabría demostrarlo (si no puedo recurrir a lo de despejar 0/0=1, etc). Sin embargo la explicación "grafica" que dan en http://www.friesian.com/zero.htm, reconozco que a mí me ayudó a convencerme.
>Creo que es para enmascarar al cero puro mediante limites. Si suponen que el numerador tiende a cero más rápidamente que el denominador entonces tiende a infinito, y alreves tiende a 0:
>A) 0.1/0.01 = 10
>B) 0.01/0.1 = 0.1
Disculpa, no lo he entendido. Entiendo lo del límite etc, pero no acabo de ver la relación con lo anterior.
>Además la operación de dividir equivale a contabilizar el numero de veces que se le puede restar el denominador al numerador. ¿cuantas veces le puedes restar 0 a 0?. Ninguna (cero), porque el resto ya es cero.
Sí, aunque yo creo que esa lectura, curiosamente (y peligrosamente a mi entender, http://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_por_cero#Inform.C3.A1tica), provoca que mucha gente crea que (p.ej) 3/0 sea infinito (por aquello de que puedo restarle 0 al 3 infinitas veces y seguir teniendo un positivo mayor que cero)
>Por último 0/0=3 despejado a 3*0=0 se podría interpretar como que 3 conjuntos vacíos son igual a un conjunto vacío. Eso conlleva perdida de información(el 3, porque 3 tres vasos de agua vacíos no son uno). También es erroneo considerar que ningún vaso vacío equivale a un vaso vacío (0*0=0).
Como interpretación alternativa, ok. Pero no acabo de estar de acuerdo del todo, porque en lo que intento explicar en el post presupongo que me muevo (p.ej.) en el contexto de los números reales. Entonces todo aquello con lo que opero (y los resultados que obtenga) creo que deberían ser un número real y nada más. En tu explicación en cambio, hay unidades (ok) y conjuntos (ahí es donde a mi entender falla).
>En vez de vasos se puede mirar como una matriz bidimensional de 3 x 0 elementos....¿El que no exista su segunda dimensión conlleva la aniquilación de la primera?
Yo creo que efectivamente sería algo así...
>Así el 0 más que un número parece un antinúmero, es antidimensional.
Esta claro que el tema da para mucho. A mi todo este tema me ha servido para darme cuenta que en clase debía haber prestado más atención en su día ;-)
>Espero que mi mareo no sea contagioso, un saludo.
No, al contrario. Solo siento no tener una base más sólida, para poder entender y tratar temas como éste con garantías plenas.
Saludos y gracias por "animar" los comentarios
Lo que quiería decir con lo de los límites
A) 0.1/0.01 = 10
>B) 0.01/0.1 = 0.1
Es una explicación de porque 0/0 se considera indeterminado. Si tanto el numerador como el denominador tienden a cero, y lo hacen desigualmente, el resultado puede tender a cualquier número desde 0 a infinito. En A el denominador tiende más (¿rápido?) a cero que el denominador, y en B lo opuesto.
Por otro lado, lo de los conjuntos lo ví en la página :
http://es.geocities.com/ferman30/de_cero_al_infinito.html
y me pareció curioso la notación de conjuntos que hacían similar a:
3x0 = 3.!0
Significa 3 x 0 = 3 conjuntos vacíos.
Nota: ello usan raya horizontal sobre el 0 para denotar la negación, yo he puesto la ! del lenguaje c).
No está permitido multiplicar conjuntos por conjuntos:
2.!0 x 0 es INCORRECTO PORQUE CERO ES UN CONJUNTO VACÍO.
Así, en la aritmética de conjuntos (que parece más detallada que la numérica), el 0 ES UN CONJUNTO no un número.
Si no entendí mal, 0/0= 1, o conjunto vacío dividido por conjunto vacío es el número uno.
Saludos.
jajaja que de pinga
Estimado PEREZ MOLTO ANET
He leido el problema planteado y por primera vez me ha interesado contestar y participar en este tipo de intercambios.
No es intencion generar una polemica, al dar puntos de vista, que difieren. Tampoco creo que en esta primera comunicación debamos abrir y discutir lo que han ya contestado a los planteos matematicos de operaciones con el cero. Lo dejaria para luego. Por ahora, me parece interesante definir y concretar el tema a la discusion de si existe el infinito y si la division por cero pueda dar esa respuesta.
Ya Brahmagupta, en la India, muchos siglos atrás, habia dado como definicion de infinito, un numero dividido por cero. Esto lo introdujo como definicion. Varios siglos despues, ya dentro del estudio de funciones que encabezaron Leibniz y Newton, encuentran que para evitar el problema provocado por estos criticos valores, cero e infinito, lo mejor era evitarlos, hablando mas bien de tendencias, y no la definicion en el mismo punto.
La idea de funcion, donde un valor depende del cambio que se provoque en otros, genera el nacimiento del analisis matematico, con el concepto de limite y la derivacion, y de alli en mas toda la parafrenia actual de los avances en el analisis.
La derivada en si, es determinar cuanto cambia el valor de una o mas variables dependientes, por culpa del cambio de las variables o de la variable independiente, de la cual depende.
En el ejemplo de funcion que das, donde la variable independiente x aparece como divisor, y se halla el limite de la funcion para esa variable independiente tendiendo a cero, se encuentra acertadamente como lo demuestras graficamente que el resultado es una as’intota tendiendo a valer infinito. Considero solo el valor absoluto de x, para evitar la indeterminacion que significa llegar por la izquierda o por la derecha a este resultado.( No es esto lo primero que debiera definirse, y por lo tanto, lo dejamos pendiente para una discusion a posteriori.)
Pero aquí viene la comprension del fenomeno de infinito. El infinito realmente es un conjunto, y el conjunto que define al valor transfinito más pequeño, no es otro que el conjunto de números Naturales.
Lo anterior es encontrado siguiendo las conclusiones de Cantor, que a fines del siglo XIX, DEFINE POR PRIMERA VEZ AL INFINITO, COMO CONCEPTO DE LAS MATEMÁTICAS, CON SU IMPORTANCIA COMO MIEMBRO VALIDA DE LA MISMA, Y ACABANDO CON LA CRITICA QUE IMPERABA DESDE TIEMPO DE ARISTÓTELES, QUE COMBATIÓ Y DENOSTÓ AL CONCEPTO DE INFINITO, NO ACEPTÁNDOLO JAMÁS.
Aristóteles entendía que el infinito era un elemento aniquilador, pues cualquier numero sumado o restado a infinito, daba infinito, y por ello “lo aniquilaba”. Entendía que el valor de infinito era sencillamente una tendencia, un valor que llamo potencial, y al cual nunca se podría llegar, puesto que dado un numero, siempre existirá otro posterior con la sencilla condición de sumarle una unidad.
Y por lo tanto, no aceptaba al infinito como un ente matemático en si mismo, que llamo infinito actual. Lo ignoro y lo declaro inexistente.
Varios siglos después muchos investigadores matemáticos siguieron con esa tesitura aristoteliana, que consideran debe entenderse el concepto de infinito en el sentido de Aristóteles. Esto prosigue así hasta la aparición de la generación de matemáticos de la época de Cantor, a fines del siglo XIX. Cantor estudia el tema, introduciendo nuevos elementos en las matemáticas, que dan origen a la moderna teoría de los conjuntos, y en base a esas ideas modernas, llega a la conclusión que el infinito que llamaba actual Aristóteles, en el sentido de ser un ente con su propia validez y no solamente una tendencia, era una situación admisible dentro de las matemáticas.
Genera la demostración. Esto le trae complicaciones con otros matemáticos de la época, que lo denostan. Fallece en 1918 en un establecimiento psiquiátrico. Sin embargo, es reconocido y premiado por sus trabajos antes de fallecer y los mismos adquieren valor dentro del estudio de la ciencia. Como ejemplo Bertrand Rusell, trabaja sus conceptos para llegar a definir la categoría de clases.
Por tanto, en el ejemplo que das, que sale aplicando los conceptos del análisis matemático, habría que aclarar que las asuntotas se cortan en el infinito.
Podría considerarse ahora que el valor que la función toma cuando x es cero, ES el valor infinito.
Pero cabe aclarar que este infinito NO ES UN NUMERO REAL, que no tiene un ultimo numero y al cual las definiciones actuales lo consideran conjuntos.
Y a su vez, todo el conjunto de números reales es un conjunto, acorde las definiciones y demostraciones de Cantor, y es un conjunto de infinitos términos.
Por lo tanto, no existe un ultimo numero real, y al no tenerlo, deja sin sentido preguntas comunes, del tipo de como es el ultimo numero real, par o impar, o tomando una comparación no numérica y haciendo la extensión al infinito de posibilidades de existencia de dos colores, blanco y negro, como ejemplo, decir que color tiene el ultimo elemento. NO EXISTE ULTIMO ELEMENTO, y estas preguntas pierdan su validez.
ESTE VALOR INFINITO descripto en tu encuentro asintótico, posiblemente ES el conjunto infinito de números reales. Un valor que Cantor llama transfinito.
Para ello, debe definirse en forma previa a cada número real, como conjunto, con sus condiciones de cardinalidad y ordinalidad.
Esto introduce un nuevo valor matemático en el concepto DEL CAMPO DE NÚMEROS, al cual AMPLIA, DEL MISMO MODO COMO LOS NÚMEROS REALES AMPLÍAN EL CAMPO DETERMINADO POR LOS NATURALES.
El valor que halla Cantor lo llama el transfinito C, el continium, y paradogicamente para tu ejemplo, no es el menor de los transfinitos, que queda definido como el conjunto, obviamente infinito, de números naturales. A este lo denomina Alef cero, א0, siendo alef la primera letra del alfabeto hebreo. Esto implica que hay más de un valor infinito, hay infinitos valores de infinitos, distintos entre ellos.
Si te interesa el tema, podemos seguir buceando en lo estudiado por personas que por lo menos respecto a mis conocimientos y posibilidades me superan ampliamente, pero por ello nada mejor que ver y entender mejor lo que expresan, Sencillamente, también soy un ingeniero que ha gustado de la matemáticas como elemento filosófico.
///////te agrego una separata sobre una introducción al tema que estoy redactando, espero tu crítica.
OPERACIONES “PROHIBIDAS” PARA EL CERO
Dividir por cero es una operación excluida de la aritmética convencional porque carece de significado. Dividir por cero es divergir o tender al infinito (en la llamada "teoría de los limites"), tareas que quedan a cargo de las funciones, y no pueden cumplir los números. A su vez dada la imposibilidad de utilizar el cero en estos casos, es operado convencionalmente, es decir por definición específica y aislada, y no por aplicación de alguna norma o regla que se derive de conocimientos o aplicaciones previamente determinadas.
Que no se puede dividir por cero, es afirmar que nunca puede ser el elemento divisor en una operación. Qué es dividir? Es “separar”, “agrupar” en partes iguales una cantidad, y la dimensión numérica de cada fracción obtenida es la respuesta a esa operación. Esto es claro mientras el número divisor, en valor absoluto, es mayor o igual a uno.
Para divisores cuyos valores absolutos sean mayores que cero y menores que uno, el resultado es un valor mayor al dividendo.
Esta operación puede verse como el producto de ese dividendo por la inversa del divisor. Y la inversa del divisor es mayor a la unidad, al ser éste menor de uno. Por lo tanto da un número mayor que el dividendo. No hay partición en la interpretación clásica habitual de dividir, sino que por el contrario, se obtiene un número mayor que el dividendo.
Esta situación de incremento del resultado es cada vez mayor a medida que el divisor es más cercano a cero, (lo que hace que su inversa crezca proporcionalmente).
En el concepto dado por el análisis matemático, desarrollado a partir de Newton y Leibniz, el límite de estas divisiones en que el divisor es cada más cercano a cero, puede llegar a ser “infinitamente” grande.
Brahmagupta, astrónomo indio de la primera mitad del siglo VII, genera su propia visión del infinito, introduciéndolo como el número cuyo divisor es cero. Este valor, infinito, posee desde el siglo VXII, mil años después, su propio símbolo, el de la figura geométrica lemniscata, “” adoptado por el matemático inglés John Wallis, en una obra publicada en 1656. Puede interpretarse que el dividir cualquier numero por cero, si el resultado es siempre infinito, indicaría que el producto entre 0 por infinito da como resultado cualquier valor real colocado como divisor. Es decir, se daría el caso que ese producto valdría cualquier valor de n, lo que haría a primera vista inviable esta definición de Brahmagupta.
Sin embargo, una posible ejemplificación permitiría pensar que esto no es axial. Si d fuera ese numero real que fuera dividido por 0, y el resultado fuera , como postulaba Brahmagupta, significa que d= 0 x , para todo d. Y ello ocurre cuando se considera a d como el valor de la distancia de un segmento de recta, conformado por infinitos puntos. La sumatoria de estos infinitos puntos, de dimensión nula, da como resultado el numero d, longitud del segmento. Es decir sumar infinitamente un número de ceros, da como resultado un valor finito. Infinitas veces Cero daría como resultado el número que mide la longitud del segmento considerado. Habrá que tomar precauciones respecto de cómo manejar este tipo de divisiones por cero, que obviamente escapan al criterio genérico de división por un número real.
EL CERO Y EL INFINITO
Cuando se hace intervenir el cero en operaciones con números reales se obtienen conclusiones curiosas y sugestivas. En la suma o la resta, el cero supone la indiferencia o equivalencia de las partes, pues el número al que se le suma o resta cero, permanece invariable.
En cambio, el producto de un número por cero supone la anulación.
Dividir por cero es divergir o tender al “infinito” (en la “teoría de los límites"), tarea vedada a los números.
A su vez, dada la imposibilidad de operar con el cero en estos casos, es utilizado convencionalmente, como cuando se sostiene que una división del cero por una variable que tienda a cero obtiene un RESULTADO numérico determinado, o que elevado un número cualquiera a la potencia cero (incluido el propio cero) se obtiene de resultado uno, la unidad. Todos los resultados posibles son estudiados en la teoría de límites de funciones, viendo para cada caso las posibles soluciones a los problemas del límite de funciones que tienden a valer cero.
CONCEPCIÓN DEL CERO. Los matemáticos que estudian el problema, generan una serie de ideas que son bien explicitas respecto del tema de la nulidad. Estiman que el cero es una:
“Excepción absoluta que instaura la regla, número no numerable, clase de las clases vacías, único número de un solo miembro en la teoría conjuntista, (no compatible con la unidad, con el uno), único número natural que está vacío (siendo que los números naturales nunca lo están).
Clase infinita ajena a las clases y a los números, el cero es un concepto que no resulta fácil describirlo y menos utilizarlo en su integral dimensión”. Estas son las descripciones de importantes matemáticos que escribieron sobre el cero.
Gottlob Frege, en su texto Begriffscbrift (1879), Die Gruunndlagen der Aritmetik (1884), Die Grundgesetze der Aritmetik (1893-1903), según su traductor, propone paradojalmente que: el cero es la clase nula de los números que se sucede a si misma. Es decir, toma como definición que el cero no puede ser el sucesor de ningún otro número que le sea menor en valor absoluto. No existe ningún número que le preceda cuyo valor absoluto sea menor que cero Y de allí que la clase que se defina como aquella que contiene a elementos que cumplan esa condición, tiene como único elemento al cero.
Alain Badiou define al cero como el signo que carece de marca, que no rechaza ninguna parte para constituir su identidad y, por tanto, por la falta de marcas, que permiten establecer comparaciones, es el único signo sin identidad, que es igual a sí mismo. El cero es el predicado del vacío, que no ocupa el lugar de ninguna otra cosa ni marca tampoco el lugar de la nada, aunque, convencionalmente, la escritura lo sitúe allí donde está el signo cero.
En este caso, una paradoja. El cero absoluto no podría ser nunca observado, porque la presencia de algún observante, anula la posibilidad de ausencia de todo. Se convierte en ese caso en una entelequia sin solución. Tampoco sería válido el concepto de cero absoluto como vacío sin la introducción de la valoración del tiempo, si hay transcurrir del tiempo, ya no hay cero, porque hay algo, el tiempo, que discurre en el espacio, o viceversa. El cero, en ese caso, podría parecerse de alguna manera al infinito máximo, que generaría tal densidad de elementos, que no podrían desplazarse unos respecto de otros, lo que anularía la posibilidad de su observación. No habría tiempo, medible por el cambio posicional únicamente.
El cero, como cero absoluto, como carencia total, es un imposible. De existir tal concepto, sería incompatible con la posibilidad física que alguien o algo pudiera expresarlo, porque por definición ya habría constituyentes que anulan su existencia. La simple situación que alguien pueda estar definiéndolo, impide su existencia física.
Saludos> Perdón por los errores. NOEL KILTOK.
Gracias por el comentario, Noel. Reconozco que al ver la extensión de tu explicación he pensado que se trataba de una broma, pero ya veo que no. Como dije en el artículo, queda invitado a participar cualquiera que pueda aportar, mejorar, o debatir ideas, y está claro que la visión histórica (entre otras) que tú aportas no se había tratado aún aquí.
Unicamente quisiera puntualizar acerca de mi nombre, que no has escrito muy bien, aunque no tiene mayor importancia.
Saludos.
No me he leido todo por que no tiene sentido leer tanto, pues todo se reduce a una cuestion muy simple EL CONTEXTO. "Normalmente" la divicion por 0 no es posible. 1/0 no es posible (basicamente por que no se puede distribuir algo en nada). Pero obtener el limite de una funcion no es una situacion normal. Decir que Limite cuando x TIENDE 2 (x->2) de 1/x es 0,5... NO ES LO MISMO QUE DECIR QUE 1/x PARA x=2 es 0,5. Para el caso de x->0, la funcion despega hacia el infinito y por eso el resultado de LIMITE cuando x TIENDE a 0 de 1/x es infinito.
Acotacion aparte en continuidad si uno de los limites tiende al infinito es discontinua no evitable.
Y respecto de 0/0 e infinito/infinito existen teoremas para salvar la indeterminacion.
Indeterminacion que surge en el CONTEXTO de LIMITE. Ya que lim 0/x x->Algo es 0. Pero ya habiamos dicho que lim algo/x cuando x->0 es infinito y 0 no es igual a infinito.
Y para infinito la explicacion es similar.
En definitiva... 5000 años de matematicas no son al pedo.
Saludos.
Hola pues no soy matematico ni nada,pero me resulta muy interesante el tem,a lo que queria preguntar es:
En el contexto de todo el tema, e incluos en un libro de isaac asimov, leo la palabra no se puede o no se debe, y isaac asimov cita: -A fin de evitar una igualdad tan inconveniente (por no hablar de otras muchas demostraciones que destruirían la utilidad de las matemáticas), los matemáticos han decidido excluir la división por cero en cualquier operación matemática. Por lo tanto la pregunta es ¿no se puede, no se debe o es imposible?
Porqu para mi solo seria aceptable el borar esa osibilidad de la matematica si es imposible, mas si no se debe o no se puede, porque representan una inconveniente, inesplicable, entonces es una falla de la matematica, la ciencia exacta por excelencia, y por ende desboronaria todo lo que ella es.
Agradezco su respuesta y les aclaro me comentario noes atacando la matematica ni sus base, solo queiro despejar una duda, como ya lo dije para mi es la ciencia exacta por excelencia y en si hasta un arte.
Hola Jhon, gracias por el comentario.
Para mí no es ningún fallo. Sólo que en cada contexto hay operaciones que no se utilizan porque no llevan a ningún sitio (o porque llevan al absurdo). Por ejemplo, no hacemos la raiz cuadrada de un numero real negativo. No es una operación válida. En cambio, en el contexto de los números imaginarios, sí podemos llevar a cabo esa operación.
Yo creo que el decir "no se puede" o "no se debe" utilizar la division entre cero, en realidad es una abreviación de "no se puede utilizar en una demostración dentro del contexto de reales junto con +/- ininito". Pienso que es así dado que se llega a una situación absurda, porque en función del numerador el resultado es igual a cualquier resultado (absurdo) o igual a ningún resultado (absurdo también). Por aquello de la indeterminación/indefinición que explicaba en el artículo.
Aunque yo tampoco soy matemático, es sólo mi opinión.
Hola,no soy matematico,pero hace tiempo mastico la division por cero, he preguntado y me han dicho "cualquier numero dividido por cero el resultado es cero", me resulta incoherente, porque si suponemos que a mi me pueden dividir en 2 si me parten al medio, o sea, gaby/2=ga by. ok, ahora bien, si a mi me quieren dividir por cero, entonces, el resultado es cero....mmm...la nada, el "no yo", o sea que me desaparece cualquiera que intente dividirme por cero. Creo que 1 dividido cero es 1, porque lo divido ninguna vez, nada,cero, o sea que al "uno" no lo parto en ningun pedazo,no? no puede desaparecer, simplemente diria que "no efectuo division en el, entonces queda en el estado identico al de antes", puede ser que alguien me explique? mi correo es gabyzeballos@adinet.com.uy, (www.gabyzeballos.com) como veran soy musico, nada que ver, pero no quiero que alguien intente dividirme y me haga desaparecer, jeje, dedico una cancion a quien me aclare esta duda existencial, saludos a todos.
Hola Gaby, gracias por tu comentario.
Bueno... es una aproximación vía lenguaje, pero no me acaba de convencer. Intentaré un enfoque similar pero distinto (también vía lenguaje), para que lo medites si te apetece:
Supón que quieres dividir un rótulo con la palabra "Gaby" en partes iguales y guardar esas partes en 2 cajas. Está claro: Trozo 1 "Ga", trozo 2 "by".
Ahora una división en la que sólo tenemos una caja: Es claro también, trozo 1 "Gaby".
Finalmente vamos a hacer una división en la que los trozos hay que guardarlos en 0 cajas. Según tu enfoque el resultado sería el rótulo "Gaby" entero, pero yo pregunto ¿cómo puedes guardar ese rótulo en 0 cajas? ¿No crees que es algo que no tiene sentido? Ten en cuenta que la operación (la división en este caso) ha de devolver un resultado coherente con tu propósito (meter los trozos de la división en cajas). Pero mi parecer es que este propósito ya es incoherente por si mismo. Si la explicación te convence puedes aplicarla de igual forma para rebatir a aquellos que te hayan contado que algo dividido entre cero es igual a cero.
En fin, no sé si te habré convencido pero gracias en cualquier caso por haber llegado hasta aquí. Un saludo.
Algo que no he llegado a ver como ejemplo y que se me ha ocurrido era la división entre cero en esta función: 1/(x^2) ; en vez de 1/x.
En el ejemplo que propongo. DEBE existir límite cuando x tiende a 0. Como la x está elevada al cuadrado, la función nunca alcanza valores negativos. Hay límite tanto por la izquierda como por la derecha, y cuyo resultado es infinito.
Lo mismo pasaría si aumentasemos de exponente la x. Para los exponentes impares: límite no existente. Para los exponentes pares: límite infinito.
Pero al sustituir la x por 0 en la expresión 1/(x^2). Nos queda 1/0, lo mismo que sale cuando hacemos el mismo proceso en la expresión 1/x. Esto me suena a indeterminación...¿Las indefiniciones son también indeterminaciones?
Sirs, perdona la tardanza en contestar y en agradecer tu comentario.
No estoy de acuerdo contigo en lo de que deba existir el límite de la función que propones: El hecho de que por un lado (x<0) y por el otro (x>0) exista límite, y que además ese valor coincida en los dos casos, no demuestra que la función tome valor cuando x=0. Y sin esto la función no es continua y en consecuencia no sirve para demostrar que 1/(x^2) = infinito, cuando x=0. Me reitero en lo que ya explico en el ártículo: Tú argumento vale para demostrar que
A)
1/(x^2) = infinito, cuando x tiende 0
pero no vale para demostrar que
B)
1/(x^2) = infinito, cuando x = 0
La diferencia entre A y B puede parecer demasiado sutil, pero no lo es: Si hablaramos de límites cuando x<=0 y x>=0 entonces, por definición, estaríamos incluyendo el cero en los posibles valores a considerar en x (y entonces estaría de acuerdo contigo). Pero, una vez más, ese no es nuestro caso porque hablamos de límites cuando x<0 y x>0.
Acerca de la de las indefiniciones e indeterminaciones, repito lo del artículo : Definitívamente, no son lo mismo. Indefinición es cuando NINGUN valor devuelto por la función es válido, mientras que indeterminación es cuando CUALQUIER valor devuelto es válido.
Muchas gracias por tu artículo, a mi tambien hace poco me paso lo mismo, teniendo una discusión con unos amigos sobre estos aspectos, tu post me ha resuelto muchas dudas e incertidumbres donde nos enfrentabamos.
... Continuando
En resumen con la igualdad 0=0*1 no se puede conducir que 0/0 = 1 y tampoco se puede concluir que 0 = 0*3.1415927 implica 0/0= 3.1415927.
Mas aun 0/0 no es una expresión indeterminada de hecho esta indefinida, esto es por la definición de división:
0/0 = 0 * (1/0)
Como no se tiene definido 1/0 (el inverso multiplicativo de 0) la multiplicación anterior esta indefinida por lo que la división 0/0 también
esta indefinida.
Si por alguna razón quisiéramos pensar que el inverso multiplicativo de cero (1/0) si esta definido entonces de todas formas este inverso
debería cumplir la definición de inverso multiplicativo y se tendría que
0 * (1/0) = 1 por lo que concluiríamos que 0/0=1
En conclusión 0/0 no esta definido pues 1/0 no esta definido y si por alguna razón tuviéramos que 1/0 si estuviera definido entonces 0/0= 1 y
no podría tomar ningún otro valor distinto.
Por lo que es falso que a 0/0 le podemos asignar cualquier resultado.
Espero que esto ayude a aclarar el tema.
Saludos
Atte. Omar Azamar
Por alguna rason el orden de los comentarios se invirtio.
Saludos
Gracias Omar por tu aportación. Aunque quiero volver a leer tu comentario con detenimiento, he de reconocer que me parece bien argumentado. Déjame que sedimente todo lo que explicas y tras ello cambiamos del artículo lo que haga falta.
Sin embargo hay un punto en el que, de entrada, creo que no estaremos de acuerdo: Dices "Mas aun 0/0 no es una expresión indeterminada de hecho esta indefinida, esto es por la definición de división". Entiendo que según tu criterio x/0 es indefinido y 0/0 también (!?). Si lo que dices es esto, creo que aquí no coincidiremos...
aunque puede convencer mucho tu teoria ya que 0*1=0 dada la operacion matematica, entonces si depejaras 0*1=0, 0=0/1 dado esto sabemos que cualquier fraccion con numerador cero es igual a cero entonces, 0=0/1=0 ahora concuerdo en que es muy coherente pensar que si si esta operacion se da entonces cero no es indeterminado y a mi pensar deberia ser asi en un plano cartesiano simplemente la operacion 0/0 seria el punto centro
ahora ya que por ejemplo 5*4=20,
4=20/5=4, 5=20/4=5 ahora se puede concluir que la realizacion de las operaciones matematicas daran como resultado un numero homologo del otro lado de la igualacion por ello 0 sera solo igual a 0 u operaciones que lleven a el osea
0=0=4-4=(5^0)+1-2 en fin asi como
5=5=4+1=(25)^(1/2) y asi...
entonces decir que 1=0 para mi no tiene logica
A lo que yo se dividir cualquier numero entre si mismo da 1, entonces 0/0=1 si despejamos el 0 de arriba quedaria 0=0*1 y esto es verdadero, ahora si despejamos el cero de abajo quedaria 0=0/1 y esta tambien es verdadero, es la unica condicion porque si hacems lo siguiente 5/0 el resultado sera infinito, si lo vemos como niños de primaria que tenemos que si a 0 niños le damos 5 manzanas a cada niño le tocaria 0 manzanas porque no ay niños jajaja bueno ese es mi punto de opinion.
A los que le interesa la matemática, préstenle atención al comentario de Noel Kiltok. Es largo pero vale la pena.
Gracias Anónimo, no importa que haya pasado tiempo.
Aunque creo que tu comentario no es correcto: Asignando dos valores cualquiera a 'a' y 'b', p. ej.
a=3
b=4
entonces, del comentario original (en el paso 2), en la parte derecha de la igualdad:
b2 - a2 = 16 - 9 = 7
Debemos llegar a ese 7. Según tu comentario
(a+b) (a-b)
debería devolver el mismo resultado (7). Pero no lo devuelve:
(3+4) (3-4) = 7 * (-1) = -7
en cambio
(a+b) (b-a)
del comentario original (paso 3) sí que es igual a 7:
(3+4) (4-3) = 7 * 1 = 7
Con otros dos valores cualquiera de 'a' y 'b', pasa exactamente igual.
Pensemos en física, en una singularidad espacio temporal hay una cierta masa pero ningún volumen, entonces si queremos saber su densidad nos queda;
D=m/v
V=0 => D=m/0
Y ahí está el dilema , todo lo que se encuentra en el universo ocupa un espacio y posee masa , por pequeña que sea, lo dejo picando, piénsenlo
Nos limitamos porque no conocemos ni la nada y tampoco imaginamos el todo.
Sólo sucedería algo distinto si hubiera:
Un conjunto sin vacío de inclusión.
o...
Un vacío sin conjunto que lo excluya.
Y es quedarse cortos, si para entender eso se van a limitar a correcto/incorrecto, a falso/cierto,
a mal/bien, ...
Ese tipo de cuadrículas son las que nos llevan a contradicciones/"dicciones".
En la supuesta demostración de que 1 = 2:
Lo que se está haciendo es lo siguiente:
a = b
ab = b^2
ab - a^2 = b*2 - a^2
a(b - a) = (b + a)(b - a)
Ya que a = b, b - a = 0 y b + a = 2a, por tanto, la última igualdad es:
a * 0 = 2a * 0
Hasta aquí todo está bien. Pero lo anterior no implica necesariamente que a = 2a.
La igualdad a = 2a no puede deducirse de la igualdad a * 0 = 2a * 0 por lo siguiente:
a * 0 = 2a * 0 es una igualdad que puede cumplirse para cualquier valor de a. Si a es distinto de 0, entonces a es distinto de 2a, y la igualdad se cumple. Por ejemplo, si a = 4, la igualdad es: 4 * 0 = 8 * 0 y es verdadera, y claro, a = 4, diferente de 2a = 8.
Eso es debido a que en cada miembro de la igualdad hay un factor 0, por lo cual cada miembro siempre es igual a 0, y los otros factores que hay en los miembros (a en el primer miembro y 2a en el segundo miembro) pueden ser diferentes, porque al multiplicarse por 0 ambos son 0 y por tanto cumplen la igualdad.
Lo que yo quiero recalcar es que el procedimiento hecho es erróneo al decir que a = b + a, o bien, a = 2a (son la misma igualdad ya que a = b). Eso es falso, porque al tener las siguientes dos líneas:
a * 0 = 2a * 0
a = 2a
lo que se está diciendo es lo siguiente: "Si a * 0 = 2a * 0, entonces a = 2a" y eso implica lo siguiente: "si a es distinto de 2a, entonces a * 0 es distinto de 2a * 0" y esta última declaración es falsa, como lo he explicado anteriormente, ya que si a es distinto de 2a, puede cumplirse la igualdad a * 0 = 2a * 0. Es decir, a = 2a es una condición suficiente, pero no es necesaria para que tal igualdad se cumpla. Por ello no puede deducirse que a = 2a.
Por ello a mí me parece que no hay contradicción ni paradoja alguna. Es un error, un paso en falso decir a = 2a.
Cuando se tiene una igualdad del tipo x * a = y * a con a distinto de 0, la igualdad es equivalente a x = y, pero, ¿por qué? Es cierto que puede dividirse ambos miembros entre a, y asegurar que x = y, pero, ¿por qué?
La justificación de que x * a = y * a, a distinto de 0 implica que x = y es esta:
Cada miembro es un producto donde a (distinto de 0) es un factor. La igualdad dice que los productos son iguales. Pero, al multiplicar un número distinto de 0 por una cantidad cualquiera, el resultado se obtiene siempre multiplicando el número distinto de 0 por esa única cantidad, por ninguna otra cantidad. Por tanto, si se sabe que x * a = y * a y que cada miembro se obtiene al multiplicar a por un único valor, necesariamente entonces x = y. Esto es el hecho de que la cada miembro es una función lineal y toda función lineal es una función biunívoca, es decir, cada imagen se obtiene a partir de un único elemento del dominio de la función. La igualdad x * a = y * a implica que las imágenes son iguales, por tanto, al ser una única imagen, se obtiene de un único elemento del dominio, por ello es que, con toda seguridad, x = y.
Pero, si a es 0 entonces la igualdad es x * 0 = y * 0. Ahora en lugar de ser una función lineal cada miembro es la función constante que vale 0 para cada elemento del dominio, vale 0 para cualquier número. Es decir, la función no es biunívoca, la imagen es la misma para infinitos valores diferentes del dominio. Para obtener 0 en ambos miembros, x e y pueden ser cualesquiera valores, sin importar cómo sean, diferentes o iguales. Por ello, si x * 0 = y * 0, no puede asegurarse que x = y.