El viernes nos dió por discutir cuál era el resultado de dividir un número entre cero.Yo siempre había considerado inaceptable la utilización de esta operación en cualquier ámbito matemático. Pero es cierto que el debate me ha servido para revisar algunos conceptos que tenía medio olvidados, y poder darme cuenta que no estaba siendo del todo estricto.
En concreto, en la mayoría de contextos matemáticos (habitualmente números reales a los que se añade +∞ y -∞ (+infinito y -infinito) [1]) la operación de dividir un número entre 0 se define como:
- Indefinida, si el dividendo es distinto de 0 (p. ej. 1/0): Significa que NINGUN valor devuelto sería válido (desarrollado más abajo).
- Indeterminada, si el dividendo es 0 (0/0): Significa que CUALQUIER valor devuelto sería válido [2].
Debido a estas caraterísticas (indefinición e indeterminación) la operación división entre cero no se admite para llevar a cabo otras demostraciones (que en estos contextos resultarían incorrectas o absurdas, como la descrita en este link o en [3])
Tras esta (auto)aclaración, me ha sorprendido lo extendida que está la corriente que asegura que cualquier número dividido entre cero es... ¡INFINITO! ¡¿COMO?! No es así.
Tras empaparme con contenidos de algunas webs, libros y antiguos apuntes, he comprendido de dónde surge esta creencia, que intentaré explicar por qué es errónea:
Tomando un numerador distinto de 0 (debido a lo explicado en [2]), por ejemplo numerador 1, trataremos la función siguiente
f(x) = 1/x
Por definición: Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.Entonces si quisieramos intentar demostrar que 1/x puede tomar algún valor para x = 0, sería necesario demostrar que la función es continua en ese punto. Para ello deberíamos demostrar que existe el siguiente límite:
lim 1/x
x→0
El límite de 1/x cuando x tiende a cero por la derecha es +∞, mientras que cuando tiende a cero por la izquierda es -∞. Mediante notación:
lim 1/x = +∞
x→0+
lim 1/x = -∞
x→0-
En análisis matemático cuando un límite es +∞ o -∞ se considera que ese límite no existe.
Pero además, según uno de los múltiples teoremas de tratamiento de límites utilizados en análisis: Existe el límite si y solo si existen los límites laterales (por la derecha y por la izquierda) y ambos coinciden.
Por cualquiera de las dos razones anteriores
lim 1/x
x→0
no existe.
La consecuencia de esto es por un lado la discontinuidad de la función 1/x en el punto x = 0, y por otro que no exista ningún valor posible para la función en ese punto (valor que coincidiría con el del resultado de la operación 1/0).
Este tipo de discontinuidad en el que uno de los límites (o ambos) son no-finitos se conoce como discontinuidad asintótica.
La misma explicación anterior de una forma algo más práctica:
El límite de 1/x cuando x tiende a 0 con valores positivos (por la derecha) nos lleva, más o menos, a algo así:
1 / 1 = 1
1 / 0.1 = 10
1 / 0.01 = 100
...
1 / 0.00000000000001 = 100000000000000
Podemos hacer que el divisor se acerce a 0 tanto como queramos. Y cuanto más cercano a 0, mayor es el número que resulta. Entonces decimos que el límite que tratamos tiende a ∞.
Esto se puede representar gráficamente de la siguiente manera:
A medida que aproximamos valores de x a cero, el valor de y (o si se prefiere f(x) ) crece cada vez más.
De manera similar, aplicamos lo visto con divisores negativos (x tendiendo a cero por la izquierda):
1 / -1 = -1
1 / -0.1 = -10
1 / -0.01 = -100
...
1 / -0.00000000000001 = -100000000000000
Incorporando los nuevos valores al gráfico anterior resulta lo siguiente:
Ahora a medida que aproximamos valores negativos de x a 0, el valor de y se hace cada vez menor ( f(x) tiende a -∞).
Como se ha dicho antes, el hecho de que al acercarnos a 0 desde números positivos tienda a un resultado (+∞) distinto del resultado al que tiende cuando nos acercamos a 0 desde números negativos (-∞) es suficiente para afirmar que la función no puede tomar ningún valor en el punto x=0.
La conclusión 1/0 = ∞ podría tener algo más de sentido si tomaramos sólo el contexto de los reales positivos. Entonces f(x) = 1/x sólo podría tomar divisores positivos, y en consecuencia diríamos que el resultado tiende a un único valor, que es +∞. Pero si desde ahí deducimos que 1/0 = +∞ caemos de nuevo en un error porque la propia definición del límite nos dice que el denominador "tiende a cero", mientras que en la deducción se está considerando que el valor del denominador es exactamente "igual a cero" (pero la definición excluye ese valor).
Todavía "más" práctico: Es como si me acerco a un precipicio. Puedo estar muy cerca del borde y aun así recorrer la mitad de lo que queda hasta llegar a él. Seguiré pudiendo hacer esto las veces que quiera, mientras me lo permita mi precisión en recorrer distancias cada vez menores. Y mediante leyes físicas podré demostrar que seguiré sin caerme porque el punto que sustenta mi centro de gravedad sigue en el lado desde donde empecé a acercarme, aunque me encuentre rematadamente cerca del borde del precipicio. Pero no puedo asegurar qué pasará si en lugar de recorrer la mitad, recorro justo la distancia de lo que queda. Puede que caiga, puede que no... Puedo hacer mil conjeturas, pero en ese punto ya no puedo demostrar nada de lo que demostré antes.
En conclusión, tampoco podemos basarnos en la expresión que describe que
lim 1/x = +∞
x→0+
para argumentar que 1/0 = +∞, porque en la propia definición del límite, el 0 como divisor queda excluido (aunque incluya números tan cercanos a él como se quiera).
Pese a lo que pueda parecer nunca me gustaron mucho las matemáticas. Reconozco que en este post me he movido en un terreno en el que no soy ningún experto, por lo que he intentado documentarme todo lo que he podido. Cualquiera que entienda del tema y piense que debería rectificar algo, queda invitado a dejar su comentario indicándo lo que considere oportuno.
En recuerdo de Ramón Parés, mi profesor de matemáticas de BUP y COU, del que por desgracia perdí la pista hace muchos años.
Anotaciones:
[1] +∞ y -∞ se consideran números no incluidos en el conjunto de los números reales
[2] 0/0 es una operación indeterminada. Esto es así porque cualquier resultado que se quiera asignar a la operación es válido. Se puede ver convirtiendo 0/0 = 0 en 0 = 0*0, pero también llegamos a 0/0 = 1 ya que 0 = 0*1, y también a 0/0 = 3.1415927 ya que 0 = 0*3.1415927. Y así sucesivamente con cualquier otro número del contexto de los números reales. En este link se presenta una representación gráfica de lo explicado aquí.
0*∞ se considera a su vez una indeterminación, aunque como se ha dicho en [1] ∞ no se considera un número incluido en el conjunto de los números reales. Otras indeterminaciones en este link
[3] Si utilizamos la indeterminación 0/0 en alguna demostración llegamos a conclusiones erróneas. P. ej.: Sabiendo que 0/0 = 1 es correcto y que 0/0 = 2 también lo es, podríamos concluir
0/0 = 1
0/0 = 2
y por tanto 1 = 2, lo cual es absurdo.
Fuentes:
- ANALISI MATEMATICA D'UNA VARIABLE - Edició setembre de 1999 - Eusebi Jarauta Bragulat - Edicions UPC - ISBN 84-89636-37-0
- CURSO PRACTICO DE MATEMATICAS DE COU - 2ª edición - F.Gonzalez-J.Villanova - EDUNSA Ediciones y Distribuciones universitarias S.A. - ISBN 85-85257-50-2
- MATEMATICA 3º Bachillerato - 4ª edición - J. Boadas-R. Romero-R.Villalbí - Editorial Teide - ISBN 84-307-3185-7
- MATEMATICAS 2º BUP - 4ª edición - Pedro Solà Montserrat - Editorial Casals S.A. - ISBN 84-218-0015-9
http://en.wikipedia.org/wiki/Division_by_zero
http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico
http://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_por_cero#Paradoja_cl.C3.A1sica_usando_Divisi.C3.B3n_por_Cero
http://www.friesian.com/zero.htm
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/39-1-u-continuidad.html
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/58-Capitulo2.htm
http://www.monografias.com/trabajos13/nocla/nocla.shtml
ACTUALIZACION (modificación) (2007-12-16): He cambiado las cadenas "infinito" y "->" (tiende a) por sus correspondientes símbolos HTML.
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